[백준 1904] 01타일 - python

게시 2023/11/22

By 신건우 8 분읽는 시간

원본 문제 링크 : 01타일

문제

지원이에게 2진 수열을 가르쳐 주기 위해, 지원이 아버지는 그에게 타일들을 선물해주셨다. 그리고 이 각각의 타일들은 0 또는 1이 쓰여 있는 낱장의 타일들이다.
어느 날 짓궂은 동주가 지원이의 공부를 방해하기 위해 0이 쓰여진 낱장의 타일들을 붙여서 한 쌍으로 이루어진 00 타일들을 만들었다. 결국 현재 1 하나만으로 이루어진 타일 또는 0타일을 두 개 붙인 한 쌍의 00타일들만이 남게 되었다.
그러므로 지원이는 타일로 더 이상 크기가 N인 모든 2진 수열을 만들 수 없게 되었다. 예를 들어, N=1일 때 1만 만들 수 있고, N=2일 때는 00, 11을 만들 수 있다. (01, 10은 만들 수 없게 되었다.) 또한 N=4일 때는 0011, 0000, 1001, 1100, 1111 등 총 5개의 2진 수열을 만들 수 있다.
우리의 목표는 N이 주어졌을 때 지원이가 만들 수 있는 모든 가짓수를 세는 것이다. 단 타일들은 무한히 많은 것으로 가정하자.

입력

첫 번째 줄에 자연수 N이 주어진다. (1 ≤ N ≤ 1,000,000)

출력

첫 번째 줄에 지원이가 만들 수 있는 길이가 N인 모든 2진 수열의 개수를 15746으로 나눈 나머지를 출력한다.

풀이

동적계획법 문제고, 해당 문제를 풀기 위해서는 N=i와 이전 step 사이의 관계를 식으로 나타내어야 한다. (점화식을 구해야한다.)

일단 간단하게 생각해보면

N=1
- 1
N=2
- 00,11
N=3
- 100,001,111

이 존재하는데, 이제 이것을 N=k에 대해서 일반화해보자.

만약 길이가 k인 2진 수열을 만든다면, 길이가 k-1인 2진 수열에 우리가 사용할 수 있는 숫자 타일인 ‘00’과 ‘1’을 수열의 항 사이에 끼워넣어서 만들 것이다. 하지만 00 타일은 길이가 2이므로, 길이가 k-1인 수열에서는 끼워넣을 수 없다. (끼워 넣는 순간 길이가 k+1이 되므로)

따라서 N=k일때 우리가 구해야하는 경우의 수는 k-2번째에서 00을 끼워넣어 만드는 경우의 수와 k-1번째에서 1 타일을 끼워넣어 만드는 경우의 수의 합이다.

처음에는 해당 성질때문에, k%2==0을 만족하는 경우와 그렇지 않은 경우를 나누어 문제를 풀어야한다고 생각했지만, N=6까지 경우의 수를 직접 세어보니, 이전의 수열들에서 중복하여 만들어지는 수열이 존재했다.

즉 k-2번째에서 1 타일을 2개 끼워넣어 새로운 수열을 만드는 경우는 k-1번째에서 1 타일을 1개 끼워 새로운 수열을 만드는 경우에 포함이 된다.

이러한 중복을 제거하며 새로운 수열을 만들기 위해서는

N = k-2의 수열들에는 가장 뒤에 ‘00’을 추가
N = k-1의 수열들에는 가장 앞에 ‘1’을 추가

하는 방식으로 수열을 생성하면 새로운 수열들이 중복되지 않는다.

이제 이 관계를 점화식으로 표현해보면 다음과 같다.

\[(\# \,\,of\,\, N = k) = (\# \,\,of\,\, N = k-2) + (\# \,\,of\,\, N = k-1)\]

이는 피보나치 수열(Fibonacci sequence)의 점화식과 동일하다.

여타 피보나치 수열 계산 문제처럼 메모이제이션을 이용하여 문제를 풀려고 시도해보았으나, 메모리 초과 오류가 발생했다. 이는 피보나치 수열의 특성 때문인데, 나무위키 문서에 다음과 같은 설명이 있다.

또한, 어떤 알고리즘인지와 무관하게, 피보나치 수열의 값은 상당히 급격하게 증가하므로 오버플로에 유의해야 한다. F(48) = 4807526976 으로 32비트 unsigned int 의 최댓값을 넘어간다. 심지어 64비트 unsigned long long 타입을 쓰더라도 F(94) = 19740274219868223167 는 LLONG_MAX = 18446744073709551615 보다 커서 오버플로가 발생한다. 정말 큰 수의 피보나치 수열의 값을 계산하려면, 이를 처리할 수 있는 BigInt 라이브러리 등을 써야 한다.

현재 문제에서 입력하는 N의 조건이 N ≤ 1,000,000이므로 test case에서 오버플로우는 발생한다. 그래서 문제의 조건에 개수를 15746으로 나눈 나머지를 출력하라고 되어있는 것이다.

하지만 여전히 출력이 문제가 아닌 해당 점화식으로 계산한 값에서 오버플로우가 발생하는 문제가 존재한다. 해당 문제를 해결하는 방법은 다음과 같이 계산해주는 것이다.

\[(\# \,\,of\,\, N = k) = ((\# \,\,of\,\, N = k-2)\%15746 + (\# \,\,of\,\, N = k-1)\%15746)\%15746\]

혹은 다음과 같이 연산 할 수 있는데 모듈러 연산(Modular arithmatic)의 성질(덧셈에서의 분배법칙 성립)에 의해 가능하다.

\[(\# \,\,of\,\, N = k) = ((\# \,\,of\,\, N = k-2) + (\# \,\,of\,\, N = k-1))\%15746\]

참고로 모듈러 연산의 특징은 다음과 같다.

$(a \,\,mod\,\,n + b\,\,mod\,\,n)\,\,mod\,\,n = (a+b)\,\,mod\,\,n$
$(a \,\,mod\,\,n - b\,\,mod\,\,n)\,\,mod\,\,n = (a-b)\,\,mod\,\,n$
$(a \,\,mod\,\,n * b\,\,mod\,\,n)\,\,mod\,\,n = (a*b)\,\,mod\,\,n$

mod n의 결과는 항상 0과 n-1 사이에 위치하므로, 해당 값에 다시 mod n을 가해도 같은 결과가 나온다.

소스 코드

  
N = int(input())
li = [i for i in range(N+1)] # [0,1,2,3,...]

if N > 2 :
    for i in range(3,N+1) :
        li[i] = (li[i-1] + li[i-2])%15746
    print(li[N])
else :
    if N == 1 : #li 초기화를 0,1,2,3,..으로 해두어서 필요가 없는 코드다.
        print(1)
    else :
        print(2)

개선한 코드는 다음과 같다.

  
N = int(input())
li = [i for i in range(N+1)] # [0,1,2,3,...]

if N > 2 :
    for i in range(3,N+1) :
        li[i] = (li[i-1] + li[i-2])%15746
print(li[N])

Algorithm, BOJ

원본 문제 링크 : 01타일

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