Ch4 Basic Refinements In Interest Rate Risk Management
4.1 Convexity
- The relation between bond prices and interest rates is not linear.
- as the interest rate $r$ increases, the ZCB(zero coupon bonds) decrease, and they become flatter and flatter as the interest rate become higher and higher.
- This pattern is especially true for long-dated zero coupon bonds.
- This pattern has an impact on the practice of interest rate risk management.
- duration은 이자율의 기간구조가 약간 평행 이동할 때의 채권 가격의 (음의) 퍼센트 변화율을 의미한다.
- 만약 이자율의 변화가 상당히 크다면, duration의 개념을 사용한 근사는 정확하지 않게 된다.
- 즉, duration은 선형 근사이나 실제 채권 가격은 곡선을 따른다.
- 기간 구조의 변화에 의한 영향을 보다 정확히 측정하기 위해서는 이자율에 대한 convexity of the bond를 고려해야 한다.
- Convexity를 통해 이자율 변화에 따른 채권 가격의 변화에 대해 더 나은 근사가 가능하다.
- Convexity는 2차 도함수의 개념을 활용하여 측정할 수 있다.
- 1차 도함수 : 함수의 기울기
- 2차 도함수 : 함수의 곡률
Definition 4.2
The convexity of a security with price P measures the percentage change in the price of the security due to the curvature of the price with respect to the interest rate $r$ \(\text{Convexity}=C=\frac{1}{P}\frac{d^2P}{d r^2}\) convexity를 계산함으로써 이자율 변화가 채권 가격에 주는 변화를 더 좋게 근사할 수 있다.
Fact 4.1
An approximation of the percentage impact of interest rates on the price of a security is given by \(\frac{dP}{P}=-D\times dr+\frac{1}{2}\times C\times dr^2\)
4.1.1 The Convexity of Zero Coupon Bonds
다음의 공식에서 ZCB의 convexity를 정의에 따라 계산할 수 있다. \(P_z(r,t;T)=100\times e^{-r\times(T-t)}\\ \begin{align} C_z &= \frac{1}{P_z}\times \frac{d^2 P_z}{d r^2} \\ &= \frac{1}{P_z}\times \{(T-t)^2\times P_z(r,t;T)\} \\ &= (T-t)^2 \end{align}\)
- Convexity helps close the gap.
4.1.2 The Convexity of a Portfolio of Securities
duration과 같이 포트폴리오의 convexity는 개별 증권 convexity의 가중평균으로 계산된다. 마찬가지로 가중치는 전체 포트폴리오 가치에서 개별 증권이 차지하는 비중이다.
Fact 4.2 \(\text{The value of the portfolio } W=\sum^n_{i=1}N_i P_i \\ \text{Convexity of portfolio} = C_W = \sum^n_{i=1} w_i C_i \\ \text{where } w_i=\frac{N_i\times P_i}{W}\)
4.1.3 The Convexity of a Coupon Bond
coupon bond는 ZCB의 portfolio로 생각할 수 있다는 점을 다시 떠올리면, 다음과 같이 나타낼 수 있다.
Fact 4.3
The convexity of a coupon bond with maturity $T$, coupon $c$, price $P_c(t,T)$ and $n$ payment times $T_1,\ldots , T_n=T$ is given by \(C = \sum^n_{i=1}w_i \times C_{z,i} \\ \text{where } C_{z,i}=(T_i-t)^2 \\ w_i = \frac{c/2\times P_z(t,T_i)}{P_c(t,T)} \,\, for \,\, i=1,\ldots,n-1,\\ w_n = \frac{(1+c/2)\times P_z(t,T_n)}{P_c(t,T)}\)
- c/2인 이유는 semi-annual compound frequency를 가정하기 때문 (T-bond)
4.1.4 Positive Convexity: Good News for Average Returns
현재 이자율 수준이 낮다면 장기적으로는 상승할 것으로 기대할 수 있고, 마찬가지로 현재 이자율 수준이 높다면 하락할 것으로 기대할 수 있다.
하지만 이자율에 대한 단기 예측(매일)은 매우 힘들다.
이자율 변화량 $dr$을 예측하는 것이 아니라, 이자율 변화에 대한 기댓값을 사용해서 이자율 수준의 기대 변화을 계산에 사용한다.
예를 들어 \(\frac{dP}{P}=-D\times dr = -20 \times dr\) 가 아닌 \(E\left[\frac{dP}{P}\right]=-D\times E[dr] = -20 \times E[dr]\) 을 사용한다. (duration $D$ 20 가정)
만약 이자율 변화량이 평균적으로 0이라면, 채권 가격의 기대 퍼센트 변화는 0이 될 것이다.
convexity term을 활용하면 어떻게 될까? Convexity C를 400이라고 가정하자. \(E\left[\frac{dP}{P}\right]= -20 \times E[dr]+\frac{1}{2}\times 400 \times E[dr^2]\) $E[dr]=0$일 때, $E[dr^2]$은 이자율 변화의 분산을 의미한다. \(Var[dr]=E[dr^2]-(E[dr])^2 = E[dr^2]\) $E[dr^2] > 0$이므로 이자율의 이동 방향은 모르지만, 변동할 것임을 알 수 있다.
$E[dr^2]$이 양수이면, $E[dP/P]$도 양수다. 그렇다면 이자율의 변동에 기인하는 양의 수익은 ‘free lunch’인가?
No, This positive average return on the investment is counterbalanced by a lower yield to maturity of the bond, everything else equal. (NA condition에 의해 convexity와 YTM 사이에 엄밀한 관계가 존재한다.)
4.1.5 A Common Pitfall
가장 일반적인 위험은 convexity를 change in duration으로 생각하는 것이다.
정의에 의하면 이는 사실이 아니다.